2016/1/21

第二次數學危機

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  16世紀,萊布尼茲、牛頓幾乎同時發明「微積分」,但帶來的「第二次數學危機」,兩位大師在有生之年,卻無法搞定。

  故事要從什麼是「變化量」說起:首先,考慮兩個函數: $$ \begin{eqnarray} f_{1}(x) &=& 2x \\ f_{2}(x) &=& 4x \end{eqnarray} $$ 2和4分別就是這兩個函數中,每個單位的變化量,因為當\(y = f_{1}(x)\)時,\(x\)每增加1,\(y\)也增加2;當\(y = f_{2}(x)\)時,\(x\)每增加1,\(y\)就增加4。為了看起來很專業,用成數學符號表示: $$ \frac{dy}{dx} $$ \(dx\)與\(dy\)分別代表著\(x\)很微小的變化值與相對應\(y\)的變化值,例如上面的\(y = f_{1}(x)\)與\(y = f_{2}(x)\)變化量2、4,可以用定義求得: $$ \begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{1}(x + dx) - f_{1}(x)}{dx} = \frac{2(x + dx) - 2x}{dx} = 2 \\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{f_{2}(x + dx) - f_{2}(x)}{dx} = \frac{4(x + dx) - 4x}{dx} = 4 \end{eqnarray} $$

  以圖形的角度來看,\(y = 4x\)比起\(y = 2x\),在\(x\)-\(y\)座標平面較斜。所以一個函數\(y = f(x)\)的變化量,可想像成在座標平面有多斜,若變化愈越劇烈,在座標平面上就愈斜。想像一下,若\(y = f(x)\)是一座山,往\(x\)軸由小到大的方向爬,當變化量是正的時候,就是上坡;當變化量是負的時候,就是下坡。

  「\(dy / dx\)」的計算方式,可以求出某個位置的單位變化量,例如想知道\(f_{1}(x)\)與\(f_{2}(x)\)兩函數圖形,在\(x = 2\)這個點時,到底斜坡有多陡呢?因為\(dx\)極小,暫時用「逼近」的想法去理解,就像下方的動圖:


  當然,無論\(x\)是在那個實數上,\(f_{1}(x)\)與\(f_{2}(x)\)得到的單位變化量「\(dy / dx\)」值均為2與4,是不變的,因為它們的函數圖形都是直線。假設這座山是有高低起伏的,例如\(f(x) = x^{2}\),在爬到\(x = 2\)這個點時,到底斜坡有多陡呢? $$ \begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} &=& \frac{f(2 + dx) - f(2)}{dx} \\ &=& \frac{(2 + dx)^{2} - 2^{2}}{dx} \\ &=& \frac{[4 + 4dx + (dx)^{2}] - 4}{dx} \\ &=& 4 + dx \end{eqnarray} $$ 上式最終得到的\(4 + dx\),可說是\(x\)從2到\((2 + dx)\)的平均坡度,所以只求\((x = 2)\)時,就可以把\(dx\)看成0,於是 $$ \frac{dy}{dx} = 4 + dx = 4 $$ 漂亮的算出\(x = 2\)時的坡度,原來跟\(y = 4x\)同樣陡,此時,\(dx\)就自我崩潰了:「一下說我是0,一下說我不是0,都給你們說就好啦!」怎麼回事呢?仔細來瞧:一開始單位變化量的定義「\(dy / dx\)」,\(dx\)在分母,不可能等於0,但在最後一步\(4 + dx = 4\),卻又要\(dx\)等於0,明顯矛盾。到底\(dx\)是什麼?引爆了「第二次數學危機」!

  數學家給這似0非0性質的數字,取了一個名字:「無窮小量」。在第二次數學危機的時期,許多的數學家無法接受「無窮小量」放入計算中,並且相信這樣的計算必定會有誤差,當時的英國主教──哲學家貝克萊──就以「詭辯」作為批判,甚至連數學論文製造機──歐拉大師──也反駁:若每一粒灰塵的重量都可視為0,那將全部的灰塵加總成的整顆地球就沒有重量。

  有些人會說:「『無窮小量』就是一個很趨近0的數啊!」,「趨近0」在直觀上似乎可以解釋,但有否注意到,上面在探討\(f(x) = x^{2}\)在\(x = 2\)的坡度,數學符號是用「等於4」,而不是「趨近於4」,而且在力學與幾何學,也驗證這個等號的成立。於是,當工程師與科學家很歡樂的使用這種計算時,數學家卻為似0非0的「無窮小量」而苦惱,認為這是「以錯誤的方法,求出正確的答案」,卻不能解釋為什麼答案是正確的。

  數學界受「第二次數學危機」浩劫近200年,創立複變函數的法國數學家──柯西,在1821年出版《分析教程》,對於「極限」提出嚴謹的定義,也用數學式定義「無窮小量」,率先以「變量」的方式描述「無窮小量」。柯西認為「無窮小量」並非像0一樣是個「明確的量」,因為想要它多接近0就可以多接近0,所以它的本質是個「會變化的量」,而且與0最小的極限距離是0。柯西的「變量」論點,為「第二次數學危機」的解答點亮一展明燈,柯西也被視為「第二次數學危機」的拯救者,柯西逝世之後,魏爾斯特拉斯延續柯西的極限概念,打穩「微積分」最後一塊磐石,完整化解「第二次數學危機」。


本篇參考:
百度百科-第二次數學危機
百度百科-極限理論
逢甲應數系-數學史6.1章
從數學史上的「三次危機」談現代科學的局限性
維基百科-無窮小量
維基百科-變數

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