2015/11/29

被跳過的正五邊形

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  「尺規作圖」是用沒有刻度的直尺和圓規,以「直線」與「圓」(包含「弧」)所組合出的平面幾何,尺規作圖有兩種基本功:「中垂線」「角平分線」,中垂線能垂直的平分任意線段,角平分線能平分任意銳角,藉由「中垂線」與「角平分線」的幫助,我們可以輕易的作出正三角形、正方形、正六邊形,甚至高斯還能畫出正十七邊形,成為令人津津樂道的數學傳奇。那正五邊形呢?學校好像沒教到正五邊形怎麼畫呢!

  「尺規作圖」作出正五邊形之前,要先認識一個特別的等腰三角形,就是頂角為\(36^\circ\)的等腰三角形,它的特別之處,就是將其中一個底角作角平分線,可分出另一個與它相似的小三角形,如下圖中,\(\triangle ABC\)與\(\triangle BCD\)均為頂角\(36^\circ\)的等腰三角形。


  唯有當等腰三角形的頂角為\(36^\circ\)時,才會有這樣的奇特性質,證明很簡單,假設等腰三角形的頂角為\(a^\circ\),因為底角是頂角的2倍,所以兩個底角均為\(2a^\circ\),由三角形內角和為\(180^\circ\),可知 $$ \begin{eqnarray} a^\circ + 2a^\circ + 2a^\circ &=& 180^\circ \\ a^\circ &=& 36^\circ \end{eqnarray} $$   因為\(\angle BCD = \angle BDC = 72^\circ\),所以\(\color{aqua}{\overline{BC}} = \color{aqua}{\overline{BD}}\),又因為\(\angle DAB = \angle DBA = 36^\circ\),所以\(\color{aqua}{\overline{BD}} = \color{aqua}{\overline{AD}}\),現在來求\(\triangle ABC\)各邊長之間的關係,利用兩個相似三角形可知 $$ \color{fuchsia}{\overline{AB}} : \color{aqua}{\overline{BC}} = \color{aqua}{\overline{BC}} : \overline{CD} $$ 比的等式具有「內項積等於外項積」的性質: $$ \begin{eqnarray} \color{aqua}{\overline{BC}^2} &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times \overline{CD} \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times (\color{fuchsia}{\overline{AC}} - \color{aqua}{\overline{AD}}) \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times (\color{fuchsia}{\overline{AB}} - \color{aqua}{\overline{BD}}) \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}} \times (\color{fuchsia}{\overline{AB}} - \color{aqua}{\overline{BC}}) \\ &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 - \color{fuchsia}{\overline{AB}} \cdot \color{aqua}{\overline{BC}} \end{eqnarray} $$ 使用配方法: $$ \begin{eqnarray} \biggl( \color{aqua}{\overline{BC}} + \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 &=& \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 - \color{fuchsia}{\overline{AB}} \cdot \color{aqua}{\overline{BC}} + \biggl[ \color{fuchsia}{\overline{AB}} \cdot \color{aqua}{\overline{BC}} + \biggl( \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 \biggr]\\ \color{aqua}{\overline{BC}} + \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} &=& \pm \sqrt{ \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 + \biggl( \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 } \end{eqnarray} $$ 其中負不合,得到 $$ \color{aqua}{\overline{BC}} = \sqrt{ \color{fuchsia}{\overline{AB}}^2 + \biggl( \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} \biggr)^2 } - \frac{1}{2}\color{fuchsia}{\overline{AB}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \color{fuchsia}{\overline{AB}} $$ 所以\(\triangle ABC\)的邊長比為 $$ \color{fuchsia}{\overline{AB}} : \color{fuchsia}{\overline{AC}} : \color{aqua}{\overline{BC}} = 2 : 2 : (\sqrt{5} - 1) $$ 若邊長比為\(2:2:(\sqrt{5} - 1)\)的三角形,三個內角就是\(72^\circ\)、\(72^\circ\)、\(36^\circ\),如下圖。


  獲得\(72^\circ\)、\(72^\circ\)、\(36^\circ\)的三角形邊長比之後,終於能放心的正式進入「尺規作圖正五邊形」主題:

1. 作一適當長\(\overline{AB}\)。
2. 作\(\overline{AB}\)之中垂線,交\(\overline{AB}\)為\(O\)。
3. 以\(O\)為圓心、\(\overline{OA}\)為半徑畫圓\(O\),交\(\overline{AB}\)之中垂線其中一點為\(C\)。
4. 取\(\overline{OA}\)之中點為\(D\)。
5. 作\(\overline{CD}\)。
6. 以\(D\)為圓心、\(\overline{CD}\)為半徑,畫弧,交\(\overline{AB}\)為\(E\)。


  依據「商高定理」(或稱「畢達哥拉斯定理」),作出兩股分別為\(1\)與\(2\)的直角三角形,其斜邊就是\(\sqrt{5}\),所以\(\overline{OC}\)與\(\overline{CD}\)的比例為\(2:\sqrt{5}\),因為\(\overline{OD} + \overline{OE} = \overline{DE}\),所以\(\overline{OC}\)與\(\overline{OE}\)的比例為\(2:(\sqrt{5} - 1)\)。

7. 以\(O\)為圓心、\(\overline{OE}\)為半徑,作弧。以\(C\)為圓心、\(\overline{OC}\)為半徑,作弧。兩弧交於\(F\)。
8. 作\(\overrightarrow{OF}\),交圓\(O\)於\(G\)。


  絞盡腦汁的畫出邊長比為\(2:2:(\sqrt{5} - 1)\)的三角形,就是為了畫\(72^\circ\),可知\(C\)與\(G\)即為正五邊形的相鄰兩個頂點,順水推舟,來完成正五邊形吧!

9. 以\(G\)為圓心、\(\overline{CG}\)為半徑,作弧交圓\(O\)於\(H\)。
10. 以\(H\)為圓心、\(\overline{CG}\)為半徑,作弧交圓\(O\)於\(I\)。
11. 以\(I\)為圓心、\(\overline{CG}\)為半徑,作弧交圓\(O\)於\(J\)。
12. 作\(\overline{CG}\)、\(\overline{GH}\)、\(\overline{HI}\)、\(\overline{IJ}\)、\(\overline{JC}\)。


  哇!完成正五邊形了!(拍手)

  其實,可以跳過第7步驟的\(F\),直接畫出第8步驟的\(G\),意即再省一步,也能畫出正五邊形,答案在昌爸工作坊可以找得到,關鍵就是算出頂角為\(72^\circ\)的等腰三角形,兩腰與底邊的比例是多少?但計算相對複雜,此篇就先用頂角為\(36^\circ\)的等腰三角形,作為畫正五邊形的入門。

本篇參考:
大哉言數-求cos 72度
昌爸工作坊-尺規作圖正多邊形

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