費氏數列 - 黃金比例篇

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　　費波那契數列：\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots\)，規則是後項是前兩項之和，也就是當整數\(n > 2\)時，\(F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}\)。假設\(G\)數列是費波那契數列的「前後項比值」，如下：
$$ \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \dots $$
當\(n > 1\)時，此數列的第\(n\)項可表示為
$$ G_{n} = \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{F_{n} + F_{n - 1}}{F_{n}} = \frac{F_{n}}{F_{n}} + \frac{F_{n - 1}}{F_{n}} = 1 + \frac{1}{G_{n - 1}} $$
由此可知\(G\)數列後項可用前項推得，已知\(G_{1} = 1\)，依序此循環推下去：
$$ \begin{eqnarray} G_{2} &=& 1 + \frac{1}{G_{1}} &=& 1 + \frac{1}{1} \\ G_{3} &=& 1 + \frac{1}{G_{2}} &=& 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}} \\ G_{4} &=& 1 + \frac{1}{G_{3}} &=& 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}} \\ & \vdots & \\ G_{n} &=& 1 + \frac{1}{G_{n - 1}} &=& 1 + \underbrace{ \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}} }_{ \mbox{ \(n\)階連分數 } } \end{eqnarray} $$
可知\(G\)數列最後收斂到無限多階的連分數\(\phi\)：
$$ \phi = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}} } $$
而\(\phi\)具有下面特性：
$$ \phi = 1 + \frac{1}{ \color{aqua} {1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}} } } = 1 + \frac{1}{ \color{aqua}{\phi} } = \frac{\phi + 1}{ \color{aqua}{\phi} } $$
上式左邊是\(\phi\)與\(1\)的比質、右邊為\((1 + \phi)\)與\(\phi\)的比質，寫成比的等式
$$ \phi:1 = (\phi + 1):\phi $$
發現以\((\phi + 1)\)與\(\phi\)為長寬畫成的長方形，正巧是一個黃金矩形！黃金矩形可以被切割為一個正方形與與其長寬等比的相似矩形，而此切割出來的相似矩形，長與寬正是\(\phi\)與\(1\)。

利用等比例的「內項積等於外項積」特性，可以得到
$$ \phi^{2} = \phi + 1 $$
再用配方法求\(\phi\)值
$$ \begin{eqnarray} \phi^{2} &=& \phi + 1 \\ \phi^{2} \color{aqua}{ - \phi + { \biggl( \frac{1}{2} \biggr) }^{2} } &=& \phi + 1 \color{aqua}{ - \phi + { \biggl( \frac{1}{2} \biggr) }^{2} } \\ { \biggl( \phi - \frac{1}{2} \biggr) }^{2} &=& \frac{5}{4} \\ \phi &=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{ \frac{5}{4} } = \frac{ 1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{eqnarray} $$
因為費式數列從第一項開始，均為正整數，前後項比值應收斂至正數，所以負不合，得到 $$ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$
換句話中，費氏數列數列的前後項比值(前項分之後項)，會收斂至黃金比例
$$ \phi = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}} } = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618034 $$
在維基百科的資料中，有很棒的收斂示意圖。

本篇參考：
維基百科-費氏數列