說謊會被雷公打

　　今天晚上，台灣插畫家Duncan畫了一幅有趣的插畫「說謊」，搏得眾網友慧心一笑，但也有不少認真魔人嚴肅的討論圖中的邏輯問題。

　　大人告訴小孩：「說謊會被雷公打喔。」結果自己卻被雷劈，代表這句是大人騙小孩用的，所以大人說了謊被雷公狠狠的教訓。等等，所以「說謊真的會被雷公打」是真的喔！那大人就沒有說謊了啊，雷公幹嘛打他？

GCHQ的聖誕賀卡-第一關

　　台灣海峽兩岸的媒體，這幾天開始報導一則關於「英國情報機構(GCHQ)推出密碼式賀卡」，邀大家一起解謎，可以參考原始題目，筆者昨天才看到新聞，於是花了一整個昨晚解開第一關，在今早要分享。

翻譯時間：
　　在這個網格謎題中，每一小格不是黑色就是白色，有些黑色格子已經幫你填好作為提示。
    In this type of grid-shading puzzle, each square is either black or white. Some of the black squares have already been filled in for you.
　　每個行、列都有標記一串數字，這些數字表示黑格子的連續數目，而且按順序排列。例如：標記「2 1 6」代表有3組黑格子──2格連續、1格和6格連續，且各組之間至少有一個白色格子作分隔。
    Each row or column is labelled with a string of numbers. The numbers indicate the length of all consecutive runs of black squares, and are displayed in the order that the runs appear in that line. For example, a label "2 1 6" indicates sets of two, one and six black squares, each of which will have at least one white square separating them.

第一次數學危機

　　整數在數線上的分佈是分散的，套個數學專有名詞，整數有「離散性」。離散性的意思：就是任意兩個不同整數之間的差距，都能保證會大於或等於某個距離。就整數而言，這個距離就是1。

　　於是很久很久以前，數學家在想，那些不能用整數表示的，是真的存在嗎？像是0和1之間，還有數字嗎？其實答案並不難，例如把1對折成2份，就得到兩個1/2，而1/2是一個真實的數字，還可以跟布店老闆說要買「半呎布」，如果老闆有些數學常識，並不會因為當中的「半呎」而無法量出這樣的長度。

被跳過的正五邊形

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　　「尺規作圖」是用沒有刻度的直尺和圓規，以「直線」與「圓」(包含「弧」)所組合出的平面幾何，尺規作圖有兩種基本功：「中垂線」與「角平分線」，中垂線能垂直的平分任意線段，角平分線能平分任意銳角，藉由「中垂線」與「角平分線」的幫助，我們可以輕易的作出正三角形、正方形、正六邊形，甚至高斯還能畫出正十七邊形，成為令人津津樂道的數學傳奇。那正五邊形呢？學校好像沒教到正五邊形怎麼畫呢！

費氏數列-等比推導篇

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　　在《費氏數列-矩陣推導篇》介紹過費氏數列：\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots\)，以及使用「線性代數」的數學知識，求出\(F_{n}\)的通式，對於沒修過「線性代數」或「矩陣」的讀者來說不容易理解，這篇會用台灣教育的國中程度能夠一目了然的方法，求出\(F_{n}\)的通式。

　　定義一個「類費氏數列\(F'\)」，擁有與費氏數列「後項是前兩項之和」的特質，但起始值為\(a_{1}\)與\(a_{2}\)，也就是
$$ \begin{eqnarray} F'_{1} &=& a_{1} \\ F'_{2} &=& a_{2} \\ F'_{3} &=& F'_{1} + F'_{2} = a_{1} + a_{2} \\ F'_{4} &=& F'_{2} + F'_{3} = a_{2} + (a_{1} + a_{2}) = a_{1} + 2a_{2} \\ F'_{5} &=& F'_{3} + F'_{4} = (a_{1} + a_{2}) + (a_{1} + 2a_{2}) = 2a_{1} + 3a_{2} \\ &\vdots& \end{eqnarray} $$

費氏數列 - 黃金比例篇

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　　費波那契數列：\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots\)，規則是後項是前兩項之和，也就是當整數\(n > 2\)時，\(F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}\)。假設\(G\)數列是費波那契數列的「前後項比值」，如下：
$$ \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}, \dots $$

整數中的女神：完美數

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　　6是個「完美數」，因為6很美妙的等於除自己之外的因數總和：\(6 = 1 + 2 + 3\)，第2個完美數是28，因為\(28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14\)，那第3個完美數是誰呢？這樣美麗的性質，是不是有一種衝動想探索她們的蹤影？

費氏數列 - 矩陣推導篇

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　　接觸數列時，老師應該都會提到一組特別的數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，這就是有名的費波那契數列，或簡稱為費氏數列，規則是後項是前兩項之和，數學式表達為
$$ \left\{ \begin{array}{ll} F_{1} = 1, F_{2} = 1 \\ F_{n} = F_{(n - 1)} + F_{(n - 2)}, & n = 3, 4, 5, ... \end{array} \right. $$

0.999...？你在那邊鬧！

　　循環小數0.999... = 1，應該是台灣每個高中生學到時，都會抗拒的等式吧！

　　一個簡單的證明方法：
因(0.999... × 10) - 0.999... = 0.999... × 9
又(0.999... × 10) - 0.999... = 9.999... - 0.999... = 9
所以得到0.999... × 9 = 9，等號兩邊同除以9推導出0.999... = 1。

0為什麼不自然？

　　0是不是自然數？其實在這世代還在吵，不過隨著時代，科學分門別類越來越細，井水不氾河水的心態，也就不那麼吵了，由各領域自己去定義吧！我國的教育遵循「數論」領域的定義，視「0非自然數」。